Modelos cuadráticos

Un amigo que está ayudando a su nieta con sus tareas de tercer año, me comentó un problema que me pareció interesante para compartir y discutir entre nosotros.

La consigna es describir una situación que se pueda representar mediante un modelo matemático donde las variables y la función que las relaciona se eligen tomando una dentro de cada una de las siguientes posibilidades:

• Variables dependientes
• D1. Altura (en metros)
• D2. Votos
• D3. Ganancias (en \$\(100.000\))
• D4. Clientes satisfechos
• Variables independientes
• I1. Gastos de publicidad (en \$\(100.000\))
• I2. Variedad de modelos (en unidades)
• I3. Tiempo (en segundos)
• I4. Tiempo (en días)
• Funciones
• F1. \(y = -3x^2 + 756x - 1500\)
• F2. \(y = 2x^2 - 12x + 20\)
• F3. \(y = x^2 -2x - 8\)
• F4. \(y = - x^2 + 22x + 23\)

Elegir una variable dependiente, otra independiente y una función entre las indicadas, y luego enunciar una situación que pueda ser descripta por ese modelo. Por supuesto, deben tenerse en cuenta las características y tamaños de los datos.

Muchas veces las tareas que se piden a los alumnos están directamente relacionadas con los temas y ejemplos que se acaban de abordar.
  Para hacer la construcción del problema anterior, ¿es necesario o conveniente conocer qué se trabajó en clase con anterioridad?, ¿o es independiente de ese contexto?

¿Es posible hacer la elección del problema 1 de distintas formas? Por ejemplo, ¿puede elegirse una variable dependiente, una independiente y luego dos funciones distintas que las asocien en contextos diferentes?, ¿o tener una misma función para dos situaciones diferentes?

¿Es posible construir cuatro situaciones usando variables y funciones distintas (agotando los \(12\) datos con \(4\) situaciones)?

En las situaciones construidos en los problemas anteriores, ¿la función elegida es apropiada o hay otra función, quizás no cuadrática, que dé una descripción alternativa?

De alguna forma, con las actividades anteriores recorremos el camino inverso al usual: en vez de buscar un modelo adecuado para una situación dada, tratamos de encontrar una situación para un modelo construido tomando elementos de un repositorio.
 Desde el punto de vista de la enseñanza, ¿cuáles son las ventajas y desventajas de esta variante donde “se poner el carro delante del caballo”?

En base a la respuesta al problema 5, ¿es posible que los alumnos se queden con la idea de que todo se puede describir con modelos cuadráticos?

¿Qué otras preguntas o comentarios se pueden hacer sobre el tema?