Chapoteando en las chapucerías

En este artículo trataremos de examinar con algún detalle las desprolijidades y errores del gráfico que mencionamos en “Chapucerías” de internet que aparece en la página de BBC News en castellano, y que reproduzco acá por comodidad.

La idea es que en internet no sólo están las «fake news» sino también otras clases de mentiras o imprecisiones, inclusive en matemáticas.

Por un lado es bueno estar atento y no creer que todo lo que aparece es verdad. Inclusive en temas tan elementales como el resto en la división entera, Wikipedia ha mostrado desprolijidades (ver mi comentario allí). Llama mucho más la atención que este tipo de problemas aparezcan en artículos publicados por la BBC.

Por otro lado, puede resultar un ejercicio interesante para que los alumnos se entrenen en desconfiar y mirar con lupa lo que se dice, como he pretendido hacer yo con ustedes.

Pero vamos a los bifes.

Secciones

• Primeras observaciones
• El comentario de Luciano
• Un misterio e identidades asociadas
• Barbaridades bien bárbaras
• Tarea

Primeras observaciones

En el gráfico, los números en cada cuadrado parecen representar áreas, pero no puede ser así ya que mirando con más cuidado vemos que el lado del cuadrado con un $13$ es la suma de los lados de los cuadrados con $8$ y $5$.

Como las letras $a$ y $b$ que se ven arriba parecen indicar los lados de sendos cuadrados, debe ser:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \boxed{{\displaystyle a=13,b=8.}}\end{array}$$

El comentario de Luciano

Sólo Luciano se animó a hacer un comentario (¡gracias Luciano! y ¡vergüenza para los cobardes!):

Pobre Fibonacci no se dio cuenta que tenía que arrancar con valores entre 0 y 1! Que burro póngale un "0"! (como decía el Chavo del 8).

Si bien el comentario es escueto, Luciano se dio cuenta de que el gráfico pretende ser el de la llamada «espiral de Fibonacci», aunque uno sospecha que Fibonacci no la conocía.

En esta «espiral» se van dibujando cuartos de circunferencias donde los radios son los números de Fibonacci, $f_1=f_2=1$, $f_3=2$, $f_4=3$, $f_5=5$,..., y los centros son vértices de cuadrados con esos lados. Entonces, la espiral comienza con dos cuadrados de lado $1$, y los cuartos de circunferencia inicialmente forman una semicircunferencia de radio $1$,

Pero... en el gráfico sólo aparece un cuadrado de lado $1$, y cerca del origen de la espiral no se sabe bien qué pasa, qué inventó el dibujante, y de ahí el comentario de Luciano.

Un misterio e identidades asociadas

Es un misterio para mí por qué se pone un segmento rayado para la diagonal del rectángulo de lados $13$ y $21$.

Posiblemente se esté refiriendo a identidades con números de Fibonacci de la forma $f_{n-1}^2+f_n^2=\mathit{algo}$.

Después de rebuscar con Google, encontré la siguiente relación (ver R. Honsberger, Mathematical Gems III, MAA, 1985, p. 107), que no he podido encontrar a quién se debe:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f_n^2+f_{n+1}^2=f_{2n+1}\text{para }n\ge 1\text{,}\end{array}$$

y como en este caso $8=f_6$, $13=f_7$, resulta que la diagonal rayada mide $\sqrt{f_{13}}=\sqrt{233}\approx 15.264$, pero no veo cómo se relaciona con el gráfico.

Hay muchas identidades relacionadas con los números de Fibonacci, y tal vez la más mencionada sea la de Cassini (1680, Liber Abaci es de 1202);

$$\begin{array}{}\text{(3)}& f_{n-1}{f}_{n+1}-f_n^2={(-1)}^n\text{para }n\ge 2\text{,}\end{array}$$

que da lugar a la conocida paradoja aparente ilustrada aquí para el caso $n=7$, donde partiendo un cuadrado de área $13\times 13=169$ en $4$ partes y reacomodándolas, obtenemos un rectángulo de ¡$21\times 8=168$!:

¿Será la diagonal del rectángulo que mide $8\times 21$ la que quiso ilustrar el dibujante? Difícil saberlo.

Barbaridades bien bárbaras

Llegamos a lo que me parece son errores groseros para un medio como la BBC.

En la parte inferior del gráfico original aparecen las intrigantes ecuaciones:

$$\frac{a+b}{a}=\frac{b}{a}=1.618.$$

Tomadas literalmente, las dos primeras dicen que $\boxed{{\displaystyle a\ne 0}}$ y que $a+b=b$, es decir ¡que $\boxed{{\displaystyle a=0}}$!

Debemos suponer que se trata de un error circunstancial, y que se quiso poner que $a$ y $b$ (números positivos) están en proporción áurea:

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b},$$

de donde resulta que, efectivamente,

$$\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618,$$

aunque debe recordarse que es sólo una aproximación a un número irracional.

Pero... ahora recordamos las ecuaciones en $\text{(1)}$ que tenemos $a=13$ y $b=8$, obteniendo $$\frac{13+8}{13}\approx 1.615385,\frac{13}{8}=1.625$$

que son números distintos entre sí y también distintos a $1.618$.

Tarea

Problema: Demostrar las identidades $\text{(2)}$ y $\text{(3)}$.