¡Música maestro!

Días atrás comentábamos en un “chat” de amigos la confusión que mucha gente tiene con el crecimiento exponencial de contagios y muertes por covid-19. En algún momento empezamos a bromear sobre “La farolera” a quien “todas las cuentas le salían mal”: empieza con una progresión aritmética, “2 y 2 son 4”, “4 y 2 son 6”, “6 y dos son 8”, de repente salta a la geométrica “y 8 (son) 16”, para volver a la aritmética pero sumando ahora de a 8, “y 8 (son) 24”, “y 8 (son) 32”. ¡Desde chicos nos confunden!

Poco después se hicieron públicas confusiones más bochornosas. Parece que mucha gente piensa que cero no es ni par ni impar, y me pregunté si habría canciones asociadas. Google me respondió que hay varias. La primera que mostró no tiene en cuenta al cero y llega hasta diez. En cambio, la segunda empieza desde cero y llega hasta nueve. Esta segunda deriva claramente de canciones tradicionales en inglés (“one little, two little, three little indians,...) y la interpreta alguien que no tiene castellano como lengua materna. Un ejemplo interesante de cómo difiere la enseñanza de matemáticas entre los países: los argentinos no tenemos por qué saber que el cero es par y capaz que los angloparlantes no saben que el diez es par

Como “La farolera” o las de “pares/impares”, la mayoría de las canciones sobre matemáticas están destinadas a entretener —y de alguna forma enseñar— a los chicos. Los más grandes recordamos la gallina turuleca de Gabi, Fofó y Miliki, que inclusive tuvo un renacimiento hace poco con la granja de Zenón.

A propósito de Gabi, Fofó y Miliki y aunque no es una canción, es muy divertido verlos trabajar sobre la table del 9. No estoy muy seguro de que muchos adultos entiendan por qué funciona lo que hacen.^(†)

La tabla del 9 según Gabi, Fofó y Miliki.

Las canciones sobre matemáticas para adultos tienen otro tipo de intención. Algunas apuntan hacia algo divertido, los estilos son variados y se siguen haciendo, como La cumbia matemática interpretada por Los Wikipedias, donde preguntan cuánto da “cero dividido cero”. También ese grupo interpreta El teorema de Pitágoras. Es interesante porque pocos recuerdan el enunciado de este teorema, y muchos menos su demostración.

Sean o no sobre teoremas, entre este tipo de canciones la que para mí está muy por encima de las restantes es el “Teorema de Tales” por Les Luthiers. Aquí ellos empiezan con una “demostración” que termina en escándalo, claro.

Es curioso que cuando yo estaba en la escuela se decía “Tales” como originalmente lo hicieron Les Luthiers, pero la influencia norteamericana ha hecho que ahora muchos lo llamen “Thales”, como en el video más abajo.

También vale la pena mencionar que para gran parte del mundo el “teorema de Tales” es el que se refiere al ángulo inscripto que es recto si se apoya en el diámetro de la circunferencia, mientras que para nosotros se trata de que paralelas cortan a rectas transversales en segmentos proporcionales.

El teorema de Tales según Les Luthiers.

Tom Lehrer y sus canciones

Pocos días atrás me llegó un video de docentes de matemáticas interpretando That's mathematics de Tom Lehrer. El video fue coordinado por Ed Southall en plena cuarentena. Aunque está en inglés vale la pena verlo, quizás ayudados por la letra que aparece en AllTheLyrics y la traducción que hizo Google (con algún retoque mío):

Counting sheep	Contar ovejas
When you're falling asleep,	cuando te estás durmiendo,
being fair	ser justo
when there's something to share,	cuando hay algo para compartir,
being neat	ser prolijo
when you're folding a sheet,	cuando doblas una sábana,
that's mathematics!	¡eso es matemática!
When a ball	Cuando una pelota
bounces off of a wall,	rebota en una pared,
when you cook	cuando cocinas
from a recipee book,	con un libro de recetas,
when you know	cuando sabes
how much money you owe,	cuánto dinero debes,
that's mathematics!	¡eso es matemática!
How much gold can you hold in an elephant's ear?	¿Cuánto oro puedes poner en la oreja de un elefante?,
when it's noon on the moon then what time is it here?	cuando es mediodía en la Luna, entonces, ¿qué hora es acá?,
if you'd count for a year, would you get to infinity?	si contaras por un año, ¿llegarías al infinito?,
or somewhere in that vicinity?	¿o a algún lugar cerca?
When you choose	Cuando eliges
how much postage to use,	cuánto pagar de estampillas,
when you know	cuando sabes
what's the chance it will snow,	cuál es la posibilidad de que nieve,
when you bet	cuando apuestas
and you end up in debt,	y terminas endeudado,
oh! try as you may,	¡oh!, no importa lo que pruebes,
you just can't get away	simplemente no puedes escaparte
from mathematics!	¡de las matemáticas!
Andrew Wiles gently smiles,	Andrew Wiles sonríe suavemente.
does his thing, and voila!	hace lo suyo, ¡y listo!
Q.E.D., we agree,	Q.E.D., estamos de acuerdo,
and we all shout hurrah!	y todos gritamos ¡hurra!
as he confirms what Fermat	cuando confirma lo que Fermat
jotted down in that margin,	anotó en ese margen
which could've used some enlargin'.	que podría haber aprovechado alguna ampliación.
Tap your feet,	Zapatea
keepin' time to a beat,	conservando el ritmo
of a song	de una canción,
while you're singing along,	mientras cantas
harmonize	armoniza
with the rest of the guys,	con el resto de los compañeros,
yes, try as you may,	sí, no importa lo que pruebes,
you just can't get away	simplemente no puedes escaparte
from mathematics!	¡de las matemáticas!

Como pueden apreciar, se trata de perfectos ejemplos de la matemática en la vida cotidiana que no necesitan de grafos ni programación lineal .

Ahora sí, el video.

Docentes de matemáticas cantando That's mathematics de T. Lehrer.

Como no conocía las obras de Tom Lehrer, las páginas de Wikipedia en castellano y en inglés me informaron que Lehrer nació en 1928, se graduó en matemáticas a los 19 años en Harvard, publicó dos trabajos científicos y después se dedicó a dar clases y conferencias sobre matemáticas, teatro y sociología en lugares como Harvard y MIT, siendo conocido principalmente por las representaciones en teatros de las canciones que escribió en las décadas de 1950 y 1960.

Hacia principios de la década de 1970 dejó de hacer presentaciones públicas, pero siguió enseñando matemáticas e historia de los musicales en la Universidad de California en Santa Cruz.

Varias de sus canciones son de protestas en un tono sarcástico, e inclusive es considerado por algunos como uno de los iniciadores de ese tipo de música. Por ejemplo, se menciona que entre 1969 y 1976 las adaptaciones que hizo Nacha Guevara le dieron popularidad a Lehrer en el mundo de habla hispana, especialmente mediante el Tango masoquista.

Lehrer escribió la letra de That's mathematics en 1986 para un programa televisivo sobre matemáticas para chicos, pero la canción fue rechazada porque la música era la de That's entertainment. Recién en 1993 la hizo pública cambiando la melodía y agregando la mención a Fermat y Wiles en el cierre de una reunión en honor a Wiles.

No voy a mencionar mucho más de la biografía de Lehrer, en las páginas de Wikipedia pueden encontrar muchos datos y enlaces para seguir. Sí me voy a concentrar en las canciones sobre matemáticas grabadas en 1997 en una reunión en honor a Irving Kaplansky al cumplir 80 años.

Les propongo dos posibilidades para ver esa grabación. La primera es mirar el video completo (1 hora y 35 minutos) y otra de Internet Archive que se limita a la presentación de Lehrer.

Mi sugerencia es que pongan el video en una ventana mientras miran las indicaciones en ésta donde puse los tiempos en la forma h:mm:ss para la presentación larga y en la forma (mm:ss) entre paréntesis para la más corta. Por supuesto, ustedes hacen lo que les plazca.

Por sí solo Kaplansky ha sido ha sido una institución y vale la pena verlo a sus 80 años a partir del minuto 53 en la presentación larga (no aparece en la corta). Como verán se da más que maña con el piano, y posiblemente les agrade verlo tocando varias canciones terminando en A song about pi (una canción sobre \(\pi\)) a la 1:20:28. ¡Impresionante!

También en el video largo puede verse otra leyenda como Saunders MacLane cantando a partir de 1:37:08 Where are the zeros of the Zeta of S (dónde están los ceros de la zeta de s), canción sobre Riemann compuesta por Tom Apostol.

A 1:22:33 (inicialmente en la corta) aparece Tom Lehrer que interpreta cinco de sus canciones, todas ellas en tono divertido. Las letras de las tres primeras pueden verse en dmdb.org y también en el volumen 81 del American Mathematical Monthly (1981).

Lehrer empieza mencionando que Kaplan fue profesor suyo en dos cursos en Harvard, uno en álgebra y el otro en Cálculo, y la primera canción que interpreta es There will be some changes made (habrán algunos cambios) que compuso en 1943 cuando hacía el curso de cálculo. No los voy a aburrir con las traducciones, sólo incluyo la letra de la primera en inglés que es suficientemente corta y da una idea de las otras canciones.

You take a function of x and you call it y,

Take any x-nought that you care to try,

You make a little change and call it delta x,

The corresponding change in y is what you find next,

And then you take the quotient and now carefully

Send delta x to zero, and I think you'll see

That what the limit gives us, if our work all checks,

Is what we call dy/dx,

It's just dy/dx.

Esta primer canción empieza hacia 1:24:51 (1:41).

Hacia las 1:25:58 (2:48), Lehrer canta There is a delta for every epsilon (hay un \(\delta\) para cada \(\varepsilon\)). La letra es un poco más larga que la anterior y la omito ya que es del mismo estilo.

La canción The Professor's Song (la canción del profesor) empieza hacia las 1:27:38 (4:35). La letra era inicialmente sobre un profesor de física (y es la que aparece en dmdb.org y en el American Mathematical Monthly), pero la cambió para la ocasión y puede leerse en letssingit.com. Esta canción es bastante diferente a las dos anteriores, ya que se burla de los profesores que saben mucho de teoría pero son muy malos docentes (y no entienden por qué no los entienden). Vale la pena que la miren y tal vez lean la letra por su tono crítico/sarcástico. No hay que perderse la escena que empieza hacia 1:29:03 (5:40), donde Lehrer se mofa de la escritura de los profesores escribiendo “minimum” en el pizarrón (y sugiere encontrar la serie de Fourier de lo que escribió).

La cuarta canción es Sociology (sociología) y empieza hacia 1:30:36 (8:25). Previamente Lehrer se muestra mitad crítico y mitad burlón hacia la sociología, diciendo que busca justificar el título de “ciencia” tratando de tener fundamentos en la matemática. Lehrer tuvo contacto con esa disciplina al dar cursos de modelos matemáticos y estadística durante varios años. La letra puede encontrase en letssingit.com.

La quinta y última canción empieza hacia 1:33:48 (11:10) y es That's mathematics que ya conocemos.

Lehrer escribió otras canciones sobre matemáticas, entre las cuales se destaca The new math (la matemática moderna) de 1965, en la cual Lehrer se muestra muy crítico (y sarcástico) hacia el movimiento de aquella época.

No encontré videos con la interpretación de Lehrer, pero en varias partes puede escucharse un audio con la letra y el texto completo, como en lyricsfreak.

Antes de la canción, Lehrer se dirige a los padres que no pueden hacer las tareas de matemáticas de los chicos, y que para la matemática moderna the important thing is to understand what you're doing rather than to get the right answer (lo importante es entender qué estás haciendo antes que obtener la respuesta correcta), lo que vuelve a repetir en la canción. También menciona It's so simple, So very simple, That only a child can do it! (es tan simple, tan tan simple, que sólo un niño puede hacerlo).

Primero hace las cuentas en base 10, pero luego dice que el ejercicio originalmente pedía hacerlo en base 8, para lo cual repite lo anterior embarullándolo aún más.

Con un cierto cuidado, podemos ver que las cuentas que está haciendo Lehrer son muy parecidas a las que tradicionalmente hacemos en Argentina, y que parecen confundir a los norteamericanos. Otra vez, vemos cómo la enseãnza de matemáticas puede cambiar mucho entre los países.

Creo que Lehrer no volvió a insistir sobre el tema. En parte porque luego se retiró de esas actividades, pero también porque la “matemática moderna” fue cambiando, haciéndose algo más concreta, y los padres fueron aprendiendo los “trucos”.

En fin, pueden encontrar versiones del audio acompañadas por gráficos que van explicando lo que está diciendo Lehrer, como en esta de Alexander Shekhtman o esta otra de Jared Khan. Si miran alguna de estas versiones, les sugiero ir parando a cada rato para entender las operaciones que está haciendo Lehrer, pues va muy rápido.

Resumiendo

Si tienen oportunidad, muestren a sus alumnos estos u otros videos mostrando que te puede gustar la matemática y “no ser aburrido” o “aparato“ (nerd).

A los mayores nos queda la idea de que no todas las canciones de matemáticas son infantiles. En general, las destinadas al público adulto son divertidas y encontramos piezas musicales bastante sofisticadas como las de Les Luthiers o Tom Lehrer. Más aún, a poco de escarbar encontramos críticas importantes a la enseñanza de matemáticas.

El disparador de esta nota fue el video coordinado por Ed Southall. Los “tweeteros” pueden seguirlo en @edsouthall. Acá les propongo el siguiente problema que él plantea: se forma un rectángulo uniendo los puntos medios de AC, CE, DF y FB de un hexágono regular, ¿qué fracción del área del hexágono es la del rectángulo?

^† Todos los videos en esta página están tomados de YouTube. ↩