En éstos momentos donde lo virtual es la única manera de estar comunicados, me llego por whatsapp el siguiente problema...
Aún lo sigo pensando... recurro a la flia OMA para ver que sale?!?!?!
Saludos a todos
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Hola Marianela: no puedo ver la imagen. Supongo que se trata del problema que me enviaste por correo electrónico. Por si hay otros que no pueden ver la imagen, acá va el enunciado que me enviaste:
ResponderBorrarDeterminar la última cifra periódica que se obtiene al hallar la expresión decimal equivalente a la fracción
\[ \frac{2019}{7^{2019}}. \]
¡Hola a todos! Uffff, ¡Marianela! lo que me hizo ejercitar tu problema (bah, si es que tu problema es el que transcribe Néstor porque yo tampoco veo la imagen). En fin, no sé si habré dado con la respuesta correcta pero al menos les comparto lo que pude pensar.
ResponderBorrarDisclaimer: tengo conocimientos sumamente limitados de aritmética y aritmética modular así que lo mío es más "intuición" que otra cosa.
Arranqué mirando el comportamiento de los desarrollos decimales de 1/7^n. Por ejemplo, la cantidad de cifras del período es 6 * 7^(n-1), primer dato curioso. Luego noté que las potencias de 7 terminan siempre en dígitos 7 9 3 1 (lo cual no es muy difícil de probar, je, pero no me lo acordaba y me costó un rato darme cuenta). Luego, jugué un rato con el algoritmo de la división. Como todas las cuentas que hacía son de la forma 1 dividio potencia de 7, el resto de la última división que determina el período debe ser 1 (para "volver a empezar" con el período), con lo cual, el último número del período multiplicado por el divisor tiene que dar 9. Como los divisores (potencias de 7) siempre terminan en el ciclo 7 9 3 1, entonces, los últimos dígitos de los períodos que se obtienen al dividir 1 por esas potencias de 7, tienen que ser números que arrojen 9 como última cifra al multiplicar respectivamente por 7 9 3 1. Esos son: 7 1 3 9. Con lo cual, los desarrollos decimales de 1/7^n terminan siempre en 7 1 3 9 7 1 3 9 ... . Quiero el desarrollo de 1/7^2019, como 2016 es mútliplo de 4, entonces 1/7^2019 tiene un desarrollo cuya última cifra periódica es 3. Bueno, ya casi: solo resta mutiplicar por 2019 y ver en qué cifra termina eso: termina en 7. Con lo cual, la fracción dada tiene un desarrollo decimal nada modesto de 6*7^2018 cifras cuya última cifra periódica es 7.
Insisto, no sé si es correcto pero es a lo más (y mejor) que puedo llegar, sin desempolvar mis libros de aritmética. Pero intuyo que con más teoría sobre congruencias, residuos o quizás potencias modulares se pueda llegar con más soltura a lo que yo -supongo- es la respuesta.
¡Los leo! Y, si pueden, nos vemos en el encuentro virtual.
¡Abrazo a la distancia!
PD: Perdón Néstor por no usar LaTeX en la respuesta, je. Lo intenté pero no logré que la vista previa me mostrara (con la sintaxis que comentaste en "Fórmulas") lo que supuestamente debería verse compilado. Así que para no hacerlo todavía más ilegible, lo dejé así...
Hola Daniela: sí, lo de Latex es complicado porque las fórmulas no aparecen en la vista previa pero sí cuando publicás el comentario. Me pasó con mi comentario más arriba. Para los que quieran insistir, prueben publicando el comentario y si no sale bien después lo borran y lo modifican. Acuérdense de que hay formas de ver el resultado (miren los enlaces en la página Fórmulas https://matemasmate.blogspot.com/p/formulas.html).
BorrarBueno, en aras del progreso... va una solución mucho más elegante y -si todo va bien- con escritura al tono.
BorrarVeamos que:
\[\begin{array}{l}
\frac{2019}{7^{2019}}=0, \overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}} \\
\frac{2019}{7^{2019}}=\frac{\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}}{9 \ldots 9}
\end{array}\]
Entonces:
\[\begin{array}{l}
(2019) \cdot(9 \ldots 9)=7^{2019} \cdot \overline{a_{1} \ldots a_{n}}
\\
\ldots 1= \left[\left(7^{2}\right)^{2}\right]^{504} \cdot 7^{3} \cdot \overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}
\\
\ldots 1= \left[49^{2}\right]^{504} \cdot 343 \cdot \overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}
\\
\ldots 1= \left[\ldots 1\right]^{504} \cdot 343 \cdot \overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}
\\
\ldots 1= \ldots 1 \cdot 343 \cdot \overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}
\\
\ldots 1= \ldots 3 \cdot \overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}
\\
\Rightarrow \quad a_{n}=7
\end{array}\]
Hola Daniela: excelente lo del Latex, ¡felicitaciones!. En cuanto al razonamiento, me parece que a partir del segundo renglón tendrías que sacar la barra a la parte periódica.
BorrarJe, ¡claro! Demasiado copy-paste de una línea a la otra... Tan pronto agarro la compu, ajusto. Gracias, Néstor. Abrazo.
BorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
BorrarListo: errata ajustada. Esto de la no visualización previa es complicado...
BorrarComo \(7^{2019}\) no es múltiplo de 2 ni de 5, entonces \(\frac{2019}{7^{2019}}\) da lugar a una expresión decimal periódica pura. Entonces:
\[\begin{array}{l} \frac{2019}{7^{2019}}=0, \overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}
\\
\frac{2019}{7^{2019}}=\frac{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}{9 \ldots 9}
\end{array}\]
Luego:
\[\begin{array}{l}
(2019) \cdot(9 \ldots 9)=7^{2019} \cdot \left(a_{1} \ldots a_{n}\right)
\\
\ldots 1= \left(7^{4}\right)^{504} \cdot 7^{3} \cdot \left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)
\\
\ldots 1= \left[\ldots 1\right]^{504} \cdot 343 \cdot \left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)
\\
\ldots 1= \ldots 1 \cdot 343 \cdot \left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)
\\
\ldots 1= \ldots 3 \cdot \left(a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\right)
\\
\Rightarrow \quad a_{n}=7
\end{array}\]
¡Abrazo!
2019/179036998645165758896685330687704637285955743317752396970717068338315642795475268763186975478765072330229839303012835249959680095345532400212026753566818982431082409833241973868838699024478742107349472955584411471723559397140304389202860343331445269848637599637468130084737985595066341899725230948749066299955897025147927798637172304922169104713117189269517418621935873673588165426664686315109142724088141992945108734434865411408427647114849943660813768159412189125411762183305685468479155213557196390652674117373410891272834118376420591530930510801922802245921955138767108025846742217167793973571769926457421089144302818420965555350464908841982960590905235504050069076323082792062234848343459293498991617338426927914285191289176975240151581378152737648495304578002685067574431845705493530651365186563383286768062958342095301005279726946499110044794028379817700450355715473328892086594440555284912878689031105026990429004278629814921050471972252097346162817235788599847388876438471670595648076787207402853618107142141275985756292915590208542684159788742057628553337553937872402784655081935632659386220308548728833176626256498584770637988832721911576293410212883389578425986187384691405396588297624275952975884105377342808483490763417407188531991839228520181118974373759771280747325012308067099964433347702444338986586376582750960346447963654934545185524423238522780500080778002642120876263712466026962936597072426623865736538218873264071604206026959939023219238717255006910044653455113440220787437111646885329491879984062540464217620173098416992279757094678234978751692158892952653739759296380028012572681711196731871184819611558197209590003080410428904701313446548140884719437331596380548053346849036973143
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