Como comenté en un mensaje de correo electrónico a algunos de ustedes, en estos días estoy tratando de hacer un curso de Jo Boaler sobre la enseñanza en el siglo XXI y “data science“.
El curso tiene sus buenas y no tan buenas cosas para mis intereses, y cada tanto aparecen problemas divertidos, no directamente relacionados con “data science“ sino más bien con una parte de neurociencia a la que adhiere Boaler.
Me pareció que les gustaría ver un par de esos problemas.
El primero vino por intermedio de S. Strogatz, matemático de primer nivel en la Universidad de Cornell (EEUU). Strogatz cuenta que conoció el problema en una reunión de matemáticos en la que él se sintió mal porque vio que algunos colegas lo resolvían enseguida mientras que él tardaba en hacerlo. Boaler lo presenta como un ejemplo de que ser lento no significa no ser apto para matemáticas. Menos mal, ¡yo tardé varias horas!
Strogatz dice que presenta este problema a estudiantes universitarios de ciencias sociales que deben tomar un curso sobre matemática.
En una hoja de papel, dibujar un triángulo escaleno (que no toque los bordes de la hoja), y plegar la hoja de manera que con un único corte recto quede recortado (exactamente) el triángulo.
Para la escuela, uno podría proponer que resuelvan para el cuadrado, el triángulo equilátero o isósceles y el rectángulo, que son un poco más fáciles. También uno podría pedir que compartan las soluciones, piensen qué es lo común en la resolución de estos problemas, cómo se les ocurrió la idea para resolverlos, etc.
El otro es un problema clásico, y está presentado en el curso como propuesta para encontrar patrones y hacer conjeturas. Originalmente se pide resolverlo usando bloques o varillas de madera (“rod trains”) de longitudes 1, 2, 3,..., ¡a estudiantes universitarios! Por cierto, la idea es fomentar el trabajo en matemáticas con distintas representaciones (gráficas, físicas, musicales,...).
¿De cuántas maneras se puede escribir el entero positivo $n$ como suma de otros enteros positivos? Aclaración: el orden importa, así, $1 + 2$ y $2 + 1$ son representaciones distintas del número $3$.
Para los primeros grados de la escuela uno podría pedir las descomposiciones para $n$ chico, por ejemplo $1 \le n\le 5$. Para los más grandes se podría pedir que conjeturen y traten de presentar una explicación (si no prueba) del comportamiento.
Nota: el mismo problema pero donde el orden en la suma no importa es mucho más interesante, y fue estudiado por muchos matemáticos entre los que contamos a Hardy y Ramanujan. No se conocen fórmulas cerradas para la solución, y el problema está relacionado con representaciones gráficas como los diagramas de Ferrers y de Young, que a su vez tienen aplicaciones a funciones simétricas y representaciones de grupos.
¡Espero MUCHOS comentarios!
¡Hola Néstor y colegas! Qué lindo lo que comentás del curso, me hiciste reír con lo de la transpiración en pleno invierno. Creo que soy la que inaugura el foro de comentarios así que... ¡piedad! Antes de meterme con mis ensayos de solución (para las que me divertí mucho), creo que vale la pena contar -ya que asumo que nos pasa a todxs- que estoy en una etapa de completa polaridad anímica.
ResponderBorrarBueno, aquí en Buenos Aires de seguro no soy la única: hay días buenos (hoy, por ejemplo) y días malos (muchos). Este encierro es duro...el "mental burden" es cada vez más pesado, la imposibilidad de salir ¡ni para las compras, casi, en mi caso! sumado a que los días son insoportablemente indistinguibles...pfff, duro. Me apena decirlo porque sé que mi caso es privilegiado (tengo salud, trabajo, con mi esposo y mi hija la pasamos muy bien en casa) pero bueno, cada cual carga su mochila y le pesa como a nadie más. En fin, este preámbulo quizás solo sea una justificación de por qué no me reporté antes (y porque no quería ser la primera jaja).
Ahora sí: problema 1. ¡Hermoso para trabajar en la escuela! De hecho, lo encaramos con Mila, mi hija de 5 años y anduvimos hablando bastante sobre cómo conseguir que "se junten" los lados del triángulo para lograr el corte. La consigna la entendió perfecta. Dobló y dobló largo rato hasta que "descubrió" la simetría a partir de la bisectriz. Obvio, hasta ahí llegó (se aburrió) y luego estuve jugando un poco más hasta encontrar EL "folding" necesario con alguna perpendicular que andaba jorobando por allí. Salió precioso y la justificación, bueno, me la reservo hasta que algunx valientx se quiera sumar ;P (el equivalente "fermatiano" del mítico "la demostración no me entra en el margen de la página", jaja).
Adjunto evidencias aquí: https://photos.app.goo.gl/q48AJmcqpKxeTh6Y9.
Dos cosas que me parecen simpáticas. La primera, la solución la encontré de casualidad (la primera vez) porque, como buena hacedora de origami, hubo un "folding" que me resultó inmediato, casi natural, para lograr el objetivo. No sé si le habrá pasado a los demás, yo se lo atribuí a las incontables horas de origami que llevo encima pero quizás no sea eso. La segunda, ¿lo más difícil de este problema? ¡¡¡DIBUJAR UN TRIÁNGULO ESCALENO!!! Por favor, qué difícil, lo que habla de con qué poca frecuencia los represento... Digamos que nunca enseñé geometría, pero de todos modos me sorprendió la cantidad de ensayos que tuve que hacer para lograr un escaleno de ley, que no fuera "especial" (rectángulo, por ejemplo).
Problema 2. También lo encaramos con Mila, justo estábamos jugando con las descomposiciones de los números y las sumas así que me vino bien. Al menos, con ella llegamos hasta el 4 y siempre con material concreto (tarjetas de puntos y bloques conectables). Sé que la aclaración decía que el orden importa pero bueno, cuando lo encaramos para jugar un rato NO LO RECORDABA así que nos metimos con el peludo, je. Mala mía. Obvio, no llegué a ninguna solución cerrada XD pero sí me entretuve un rato haciendo diagramas (que además, confieso, fue la única forma en que pude armar las descomposiciones sin perderme).
ResponderBorrarAcá las evidencias: https://photos.app.goo.gl/5jqoY4jJpih1U4Wr9.
Desde un punto didáctico, creo, lo bonito de haber encarado el otro problema es que, si se logra tolerar la frustración de no hallar una regularidad es mucho más fácil hallar el patrón para el caso en donde el orden sí importa una vez hecho el otro: por ejemplo, se puede hacer una adaptación usando combinaciones/permutaciones para incorporar "a los que conmutan". En cualquier caso, sobre la tolerancia a la frustración de no poder resolver algo, creo que es algo que deberíamos explotar más en clase. Solemos dar problemas que sabemos que llegan a algún lugar (abordable para lxs estudiantes) cuando también hay mucho valor en intentar y que no salga ya sea porque no existe algo "cerrado" o porque, de existir, escapa ampliamente los conocimientos disponibles. Especialmente, en problemas como estos en donde la formulación es tan sencilla que uno incluso lo puede trabajar en primaria o jardín, como con Mila.
Hay mucho para explorar en problemas como estos, muchas conexiones -además- que es posible establecer entre cosas que muchas veces se presentan "disjuntas" en la escuela. Pero creo que la clave, como siempre, está en la gestión que uno hace de eso en el aula y en un contexto más grande que podría ser -por ejemplo- el objetivo que se quiere lograr en un curso luego de un año de trabajo (más allá de los tecnicismos curriculares).
En fin, me despido hasta la próxima y esperando leerlxs a ver qué tal anduvieron mis conjeturas. Y dejo esto, que me parece que se enlaza con la idea que proponía en el problema 2: https://www.westminsterunder.org.uk/chikas-test/.
¡Abrazo!
Gracias Dani por las respuestas. Me pareció muy lindo que involucraras a Mila en las tareas.
ResponderBorrarYo había empezado a trabajar en el primer problema con GeoGebra como es mi costumbre, pero tuve que pasar al papel concreto para llegar a una solución.
Como el segundo problema no tiene una solución redonda de Dani, puse mi solución en una entrada separada.
Finalmente, si alguno está interesado en la regla de división por 7 que menciona Dani y no ha llegado a la solución, porfa agregue un comentario acá o escribame particularmente.
Besos y abrazos.
¡Hola Néstor y grupo!
ResponderBorrarHace unos días estaba conversando con un colega sobre esto (al pasar, como algo simpático de nuestro blog y algo que habíamos estado haciendo con Mila) y me alertó sobre la existencia de Erik Demaine :O
Me reservo la identidad del colega, je; pero les comparto esto que me pareció una maravilla http://erikdemaine.org/foldcut/ (no es descubrimiento mío, me invitó a ver esta web y yo no sabía de la existencia de Demaine hasta que me lo presentó).
Me pareció hermoso y debo decir que plegar el cisne y ver que es posible obtenerlo con un solo corte, ¡uff, mindblowing!
Además hay unos videos sobre cursos del MIT que son muy lindos para ver. Este por ejemplo http://courses.csail.mit.edu/6.849/fall10/lectures/L07.html.
¡Gracias Néstor por abrir este espacio! Solo con estas pinceladas hay taaanto que uno podría estructurar en el contexto de una clase, un tema, un contenido... Ahí está el desafío.
¡Fuerte abrazo!
PD: la semana que viene tenemos el VirtUMA :)